Інтеграли об`єм тіла обертання метод найменших квадратів

Контрольна робота (варіант 8)
1. Знайти невизначені інтеграли:

2. Інтегрування по частинах

Обчислити визначені інтеграли:
3.
= 8-6,92 = 1,08
Інтегрування по частинах
4.
5. Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ОХ фігури, обмеженої лініями
. Побудувати креслення.
Рішення.
У декартовій системі координат побудуємо лінії і знайдемо точки їх перетину.
Обсяг тіла обертання за формулою
Точки перетину ліній



(Другий варіант не підходить, тому що негативний)
Звідси
Межі фігури:

Фігура симетрична відносно осі ОУ, тому
Обсяг тіла



6. Методом найменших квадратів знайти емпіричну формулу виду y = ax + b для функції, заданої наступною таблицею:

X	3.3	3.5	3.7	3.9	4.1
Y	13	13.5	11.4	11.2	9.7

Зобразити графічно таблично задану і відповідну лінійну функції. За емпіричної формулою обчислити значення змінної при х = 4,0
Рішення
Заповнимо таблицю

			2
1	3,3	13	10,89	42,9
2	3,5	13,5	12,25	47,25
3	3,7	11,4	13,69	42,18
4	3,9	11,2	15,21	43,68
5	4,1	9,7	16,81	39,77
S	18,5	58,8	68,85	215,78

Складемо для визначення коефіцієнтів систему рівнянь виду:

Отримаємо

Вирішуючи систему методом виключення визначаємо:

Шукана емпірична формула y = 28.23-4.45x
Значення змінної при x = 4.0
y = 28.23-4.45 * 4 = 10.43
7. Дослідити збіжність ряду.

Досліджуємо ряд спочатку на абсолютну збіжність. Загальний член ряду

У свою чергу ряд розходиться як гармонічний. Значить абсолютної збіжності у вихідного ряду немає. Досліджуємо на умовну збіжність за ознакою Лейбніца.
1) при

2)

дійсно для
За ознакою Лейбніца, вихідний ряд збігається умовно.